Als jüngstes von drei musikalischen Geschwistern begann Ori im Alter von sechs Jahren mit dem Cellospiel. Im Jahr 2002 zog er mit seiner Familie von Israel nach London.

Dort studierte er bei Miklós Perényi und Bernard Greenhouse und schloss sein Studium an der Hochschule der Künste Bern in der Klasse von Antonio Meneses ab. Während fünf Jahren war Ori Epstein Artist in Residence an der Queen Elisabeth Music Chapel unter der Leitung von Gary Hoffman.

Seine Leistungen auf dem Cello wurden mit mehreren Preisen ausgezeichnet, darunter der 3. Preis beim internationalen Wettbewerb in Bromsgrove und der 1. Preis beim internationalen Wettbewerb in Tunbridge Wells.

Ori Epstein ist der Cellist des Busch Trios, das sich in den letzten Jahren zu einem der führenden Klaviertrios entwickelt hat. Zusammen mit seinem Bruder Omri am Klavier und dem Geiger Mathieu van Bellen ist das Busch Trio regelmäßig auf den großen Bühnen und Festivals in Europa und den USA zu hören. Aus der langjährigen Zusammenarbeit mit dem Label Alpha Classics ist eine vierteilige CD-Serie mit dem Gesamtwerk von Antonin Dvořák für Klavier und Streicher hervorgegangen.

Für Alpha Classics hat Ori das Cellokonzert von Édouard Lalo mit Jean-Jacques Kantorow und dem Orchestre Philharmonique Royal de Liège aufgenommen. 2019 erscheint bei LINN Records eine von der Kritik hochgelobte Gesamtaufnahme der Sonaten und Variationen von Beethoven.

Ori Epstein spielt ein Cello von Giovanni Battista Ceruti aus dem Jahr 1815 in Cremona. Es gilt als eines der am besten erhaltenen Beispiele für Cerutis Arbeit und ist vermutlich auch das letzte von ihm gebaute Cello. Es wurde Ori freundlicherweise von einem privaten Sponsorenkonsortium zur Verfügung gestellt.