Robert Quinney wurde in Nottingham, Großbritannien, geboren und begann seine musikalische Laufbahn als Sänger im Chor der Kathedrale von Dundee. Anschließend war er Orgelstipendiat am King’s College in Cambridge, wo er sein Bachelor- und Masterstudium abschloss. Seine Karriere als Musiker führte ihn nach London, wo er zunächst an der Westminster Cathedral tätig war und anschließend neun Jahre lang als stellvertretender Organist an der Westminster Abbey arbeitete. In dieser Zeit trat er bei mehreren bedeutenden nationalen und staatlichen Anlässen auf – darunter 2011 bei der Hochzeit des Prinzen und der Prinzessin von Wales. Außerdem war er als Continuo-Spieler mit Orchestern wie The English Concert und den English Baroque Soloists aktiv. Nach einer kurzen Zeit als Musikdirektor an der Peterborough Cathedral zog er 2014 nach Oxford.

Er leitet den weltberühmten Chor des New College in Oxford, wo er als Tutorial Fellow für Musik tätig ist; außerdem ist er außerordentlicher Professor an der Fakultät für Musik. Neben seiner Arbeit in Oxford unterhält er eine rege Konzerttätigkeit als Solorganist. Von 2022 bis 2025 war er Leiter des Edington Festival of Music within the Liturgy.

Seine Chor- und Orgelaufnahmen fanden große Anerkennung. Über eine CD mit Orgelmusik von J. S. Bach schrieb Gramophone: »Quinneys Bach dringt mit erfrischender Klarheit und einer aus echtem Verständnis geborenen Ausdruckskraft zum Kern der Musik vor.« Er ist als Organist auf zahlreichen Aufnahmen mit The Sixteen zu hören. 2017 gab er 2017 sein Debüt in der Royal Festival Hall und kehrte im März 2023 mit einem zweiten Programm, das ausschließlich Werke von Bach umfasste, dorthin zurück. Außerhalb Großbritanniens gab er kürzlich Solokonzerte in den Niederlanden, Genf und Stockholm.